第十二章 · 终章：欧拉恒等式

第十二章

欧拉恒等式

史上最美的七个符号

e^iπ + 1 = 0

五个最重要的数学常数，
在此刻相遇、握手，并达成永恒的平衡。

§ 10.1 · 五个常数

各自为政，此刻相遇

e

自然常数

出现在银行利息、细菌繁殖、放射衰变中

分析学

i

虚数单位 i

√−1，想象力打开的维度之门

复数域

π

圆周率

完美之圆，无限不循环的小数

几何学

1

乘法单位元

万物的起点，一切数字的基石

算术

0

加法单位元

虚无，平衡的支点，终点也是起点

代数

§ 10.1 · 欧拉公式的推导

指数，遇见圆

欧拉将 e 的泰勒展开、虚数 i 和三角函数联结，
走了这样一段旅程：

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ···泰勒展开

e^iθ = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + ···令 x = iθ

= (1 − θ²/2! + θ⁴/4! −···) + i(θ − θ³/3! + ···)实虚分离

= cos θ + i sin θ欧拉公式

令 θ = π：e^iπ = cos π + i sin π = −1代入 π

∴ e^iπ + 1 = 0∎ 证毕

§ 10.1 · 复平面上的旋转

e^iπ 是一次旋转

e^iθ = cos θ + i sin θ

在复平面上，e^iθ 的含义是绕原点旋转角度 θ。

当 θ = π，从 +1 出发，旋转 180°，精确落于 −1。
加上 1，归于 0。

这不是巧合，而是旋转的几何必然——
欧拉公式的本质是复平面上的圆周运动。

§ 10.2 · 为何绝美？

统一的震撼

这五个常数来自数学的五个互不相关的领域——
分析、代数、几何、算术、集合论。
它们原本素昧平生，却在同一行等式里完美相遇。
如同宇宙各处的文明，发现彼此早已说着同一种语言。

§ 10.2 · 数学家的回响

他们这样说

§ 10.3 · 代数的诗

寥寥数语，道尽宇宙

e，一切增长的韵律；
i，想象力打开的维度；
π，完美之圆的永恒比例；
1，一切数字的起源；
0，虚空——既是终点，也是起点。

它们相加为零——
因为宇宙是自洽的。

e^iπ + 1 = 0 · Leonhard Euler · 1748

终章 · 全系列完

e^iπ + 1 = 0

From Euclid's axioms,
to the curved surfaces of non-Euclidean geometry,
from algebraic variables to the symmetry of group theory,
from fractal iteration to the rhythm of constants —
Mathematics is the language the universe uses to know itself.

— 全系列 · 完 —